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03年全國高中數學聯賽試題及解答

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梅花三麓付費文檔梅花三麓付費文檔 2003年全國高中數學聯合競賽試卷

第一試

(10月12日上午8:00-9:40)

一、選擇題(每小題6分,共36分)

1.(2003年全國高中數學聯賽)刪去正整數數列1,2,3,……中的所有完全平方數,得到一個新數列.這個數列的第2003項是

(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049

2.設a ,b ∈R ,ab ≠0,那么直線ax -y +b=0和曲線bx 2+ay 2=ab 的圖形是

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A.

B. C. D. 3.過拋物線y 2=8(x +2)的焦點F 作傾斜角為60°的直線,若此直線與拋物線交于A 、B 兩點,弦AB 的中垂線與x 軸交于點P ,則線段PF 的長等于

(A) 163 (B) 83 (C) 163

3 (D) 8 3 4.若x ∈[-5π12 ,-π3 ],則y=tan(x +2π3 )-tan(x +π6 )+cos(x +π6

)的最大值是 (A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 125

3 5.已知x ,y 都在區間(-2,2)內,且xy=-1,則函數u=44-x 2+99-y 2的最小值是 (A) 85 (B) 2411 (C) 127 (D) 125

6.在四面體ABCD 中, 設AB=1,CD=3,直線AB 與CD 的距離為2,夾角為π3

,則四面體ABCD 的體積等于

(A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 33

二.填空題(每小題9分,共54分)

7.不等式|x |3-2x 2-4|x |+3<0的解集是 .

8.設F 1、F 2是橢圓x 29+y 2

4

=1的兩個焦點,P 是橢圓上一點,且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1,則△PF 1F 2的面積等于 .

9.已知A={x |x 2-4x +3<0,x ∈R },

B={x |21-x +a ≤0,x 2-2(a +7)x +5≤0,x ∈R }

若A ?B ,則實數a 的取值范圍是

若A ?B ,則實數a 的取值范圍是 .

10.已知a ,b ,c ,d 均為正整數,且log a b=32,log c d=54

,若a -c=9,則b -d= . 11.將八個半徑都為1的球分放兩層放置在一個圓柱內,并使得每個球都和其相鄰的四個球相切,且與圓柱的一個底面及側面都相切,則此圓柱的高等于 .

12. 設M n ={(十進制)n 位純小數0.-a 1a 2…a n |a i 只取0或1(i=1,2,…,n -1),a n =1},T n 是M n 中

元素的個數,S n 是M n 中所有元素的和,則lim n →∞S n T n

= . 三、(本題滿分20分)

13.設32

≤x ≤5,證明不等式 2x +1+2x -3+15-3x <219.

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